2021湖南师范大学高等数学研究生考试大纲 正文

　湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
考试科目代码：                    考试科目名称： 高等数学

一、考试内容及要点
1、函数、极限、连续
（1）函数的概念及表示法
（2） 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
（3）复合函数、反函数、分段函数和隐函数、 基本初等函数的性质及其图形、 初等函数的应用
（4）数列极限与函数极限, 函数的左极限与右极限, 及函数极限存在与左、右极限之间的关系
（5） 极限的性质及四则运算法则、单调有界准则和夹逼准则,求极限的方法
   两个重要极限 :
               
（6）无穷小、无穷大、无穷小量。
（7） 函数的连续性、左连续、右连续，函数间断点及其类型
（8） 闭区间上连续函数的性质：有界性、极值、最大值和最小值定理、零点定理和介值定理   

2、一元函数微分学

（1） 导数和微分的概念、 导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线。
（2）导数和微分的四则运算、 基本初等函数的导数、　复合函数、反函数、分段函数的求导、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
（3）高阶导数
（4） 微分中值定理：罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西定理，泰勒(Taylor)定理
（5）洛必达（L’Hospital）法则求极限
（6） 函数单调性的判别、 函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数的最大值与最小值、函数图形的描绘。　
（7）弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径的计算

3、一元函数积分学
原函数和不定积分的概念　不定积分的基本性质　基本积分公式　定积分的概念和基本性质　定积分中值定理　积分上限的函数及其导数　牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法　有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分　反常（广义）积分　定积分的应用
考试要求
（1）原函数、不定积分和定积分
（2）不定积分的基本公式、不定积分和定积分的性质及定积分中值定理、换元积分法与分部积分法。
（3）有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．
（4）包含积分上限的函数的导数，牛顿-莱布尼茨公式．
（5）反常积分的概念及其计算．
（6）应用定积分计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等、以及函数的平均值．
4、向量代数和空间解析几何
（1）空间直角坐标系、向量的概念及其表示.
（2）向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两向量垂直、平行的条件.
（3）单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，用坐标表达式进行向量运算的方法.
（4）平面方程和直线方程及其求法.
（5）平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.
（6）点到直线以及点到平面的距离.
（7）曲面方程和空间曲线方程
（8）常用二次曲面的方程及其图形，简单的柱面和旋转曲面的方程.
（9）空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标平面上的投影，投影曲线的方程.
5、多元函数微分学
（1）多元函数的概念、二元函数的几何意义.
（2）二元函数的极限与连续的概念、以及有界闭区域上连续函数的性质.
（3）多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性.
（4）方向导数与梯度及其计算方法.
（5）多元复合函数一阶、二阶偏导数
（6）隐函数存在定理，多元隐函数的偏导数的求法.
（7）空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线及其求法
（8）二元函数的二阶泰勒公式.
（9）多元函数极值和条件极值，多元函数极值存在的必要条件，二元函数极值存在的充分条件，二元函数极值的求法，条件极值的拉格朗日乘数法，简单多元函数的最大值和最小值.
6、多元函数积分学
（1）二重积分、三重积分的概念，重积分的性质，二重积分的中值定理.
（2）二重积分与三重积分的计算。
（3）两类曲线积分的概念，两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
（4）两类曲线积分的计算方法.
（5）格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数的求法
（6）两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，两类曲面积分的计算，高斯公式与曲面积分，斯托克斯公式与曲线积分
（7）散度与旋度
（8）重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量：平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等

7、常微分方程
（1）微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
（2）变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．
（3）齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．
（4）降阶法解微分方程：
（5）线性微分方程解的性质及解的结构．
（6）应用微分方程解决一些简单的问题．

8、线性代数
（1）行列式的性质与计算．
（2）矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．
（3）矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
（5）逆矩阵的概念，逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵的概念，应用伴随矩阵求逆矩阵．
（6）矩阵的初等变换，初等矩阵的性质和矩阵等价，矩阵的秩，应用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵．
（7）分块矩阵及其运算．
（8）向量组线性相关与线性无关，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法． 
（9）向量组等价，矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系.
（10）克莱姆法则及其应用．
（11）非齐次线性方程组解的结构及其通解的求法．
（12）应用初等行变换求解线性方程组．
（13）矩阵的特征值、特征向量与矩阵的对角化、转换矩阵。
9、无穷级数
（1）常数项级数的收敛和发散以及收敛级数的和，级数的基本性质及收敛的必要条件.
（2）几何级数与级数的收敛与发散的条件.
（3）正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.
（4）交错级数的莱布尼茨判别法.
（5）任意项级数绝对收敛与条件收敛、绝对收敛与收敛的关系.
（6）函数项级数的收敛域及和函数.
（7）幂级数收敛半径、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域
（8）幂级数在其收敛区间内的基本性质，和函数的连续性、逐项求导和逐项积分，幂级数在收敛区间内的和函数以及数项级数的求和.
（9）函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
（10）函数，，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，函数的幂级数展开。

二、参考书目
同济大学数学系编. 高等数学（第六版）. 高等教育出版社,
彭冨连主编. 高等数学. 湖南师大出版社,
同济大学数学系编. 线性代数（第五版）. 高等教育出版社, 
四川大学数学系编. 高等数学（第三版）. 高等教育出版社,


 

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