2021年广西大学高等代数专业研究生考试大纲与参考书目 正文

广西大学硕士研究生入学考试初试科目。《高等代数》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本科生各专业硕士研究生学习所要求的水平。本考试是一种测试应试者综合运用所学的高等代数的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。 

闭卷、笔试  

（一）试卷满分及考察内容分数分配
试卷满分为150分。其中计算30分，简答30分，证明90分。
（二）试卷题型比例
计算题20%，简答题20%，证明题60%
行列式、线性方程组与矩阵：30%
（具有度量）线性空间与线性变换（映射） 40%
二次型与多项式环 20%
综合题 10% 

（考试内容和考试要求
（一）、考试内容
第一章 线性方程组
高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法，线性方程组的解的情况及其判别准则，数域。
第二章 行列式
n元排列，n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，行列式按k行（列）展开。
第三章n 维向量空间k^n
n维向量空间k^n及其子空间，线性相关与线性无关的向量组，极大线性无关组、向量组的秩，向量空间k^n及其子空间的基与维数，矩阵的秩，线性方程组有解的充分必要条件，齐次线性方程组的解集的结构，非齐次线性方程组的解集的结构。
第四章 矩阵的运算
矩阵的运算，特殊矩阵，矩阵乘积的秩与行列式，可逆矩阵，矩阵的分块，正交矩阵，欧几里得空间R^n，K^n到K^s的线性映射。
第五章 矩阵的相抵与相似
等价关系与集合的划分，矩阵的相抵，广义逆矩阵，矩阵的相似，矩阵的特征值和特征向量，矩阵可对角化的条件，实对称矩阵的对角化。
第六章 二次型，矩阵的合同
二次型和它的标准形，实二次型的规范形，正定二次型与正定矩阵。
第七章 多项式环
一元多项式环的概念及其通用性质，整除性，带余除法，最大公因式，不可约多项式，唯一因式分解定理，重因式，多项式的根，复数域上的不可约多项式，实数域上的不可约多项式，有理数域上的不可约多项式，多元多项式环，对称多项式，模m剩余类环，域，域的特征。
第八章 线性空间
线性空间的结构，子空间及其交与和，子空间的直和，线性空间的同构，商空间。
第九章 线性映射
线性映射及其运算，线性映射的核与象，线性映射的矩阵表示，线性变换的特征值与特征向量，线性变换可对角化的条件，线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley（哈密顿-凯莱）定理，线性变换的最小多项式，幂零变换的结构，线性变换的Jordan标准形，线性函数与对偶空间。
第十章 具有度量的线性空间
双线性函数，欧几里得空间，正交补，正交投影，正交变换与对称变换，酉空间，酉变换，Hermite（埃尔米特）变换，正交空间与辛空间。
（二）、考试要求
要求考生基本概念清楚，对定理理解准确，扎实掌握，并对定理能够灵活运用；而且要求有较强的计算能力，对高等代数的方法能灵活运用。

1. 丘维声：高等代数（第三版）上、下册，高等教育出版社，2015年。
  2. 北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组：高等代数，高等教育出版社，1984（第6次印刷）。

广西大学

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