常微分方程

 

    一、考查目标

 

    常微分方程课程是进一步学习本学科后续课程必不可少的一门课程。它是数学学科联系实际的重要途径之一。本科目主要考查考生对常微分方程的基本概念和基本理论的理解程度；分析和求解一阶微分方程、高阶线性微分方程、线性微分方程组的能力；以及对自治系统平衡点稳定性的基本理论的掌握程度。

 

    二、试卷结构

 

    1、题型结构

 

    解答题（100分），共计100分。

 

    3、内容结构

 

    一阶微分方程的初等积分法（约占40%）、高阶线性微分方程（约占30%）、线性微分方程组（约占20%）、非线性微分方程（约占10%）。

 

    三、考试内容和要求

 

    1、一阶微分方程的初等积分法

 

    理解微分方程的基本概念；掌握一阶显式常微分方程的基本类型的判别和解法（包括变量分离法、常数变易法、恰当方程与积分因子法）；理解一阶隐式微分方程的四种类型求解的基本思路，并掌握其基本解法；了解一阶微分方程解的存在唯一性定理及解对初值的连续依赖性与可微性等相关定理。

 

    2、高阶线性微分方程

 

    了解高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理；理解n阶线性齐次微分方程与n阶线性非齐次微分方程解的性质与结构；掌握特征根法求解n阶常系数线性齐次方程与比较系数法求解n阶常系数线性非齐次方程。

 

    3、线性微分方程组

 

    了解线性微分方程组解的存在唯一性定理，熟悉用向量和矩阵的形式表示线性微分方程组；理解齐次线性方程组解的结构；掌握基本解组、基解矩阵、矩阵指数的概念和关系；理解非齐次线性方程组解的结构；会利用常系数线性齐次微分方程组系数矩阵的特征值、特征向量求基解矩阵；了解常系数非齐次微分方程组的求解方法。

 

    4、非线性微分方程

 

    了解非线性微分方程稳定性的概念和理论，包括按线性近似决定稳定性和李雅普诺夫函数法判定稳定性等；掌握二阶自治系统平衡点的类型及稳定性。

 

    四、推荐书目：

 

    1、王高雄等，《常微分方程，第三)》，高等教育出版社，2006

 

    2、韩祥临等，《常微分方程简明教程》，浙江大学出版社，2013

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