河南工业大学理学院数学保研夏令营

河南工业大学2013年考研报录比：数学

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2013	理学院	数学	9	5	55.56%	/

2021河南工业大学数学分析专业研究生考试大纲

第一章 实数集与函数
§1 实数
(一) 教学目的：1掌握实数的各条性质，掌握实数的基本概念和最常见的不等式。
(二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式．
基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算．
(三) 教学建议：
(1) 本节主要复习中学的有关实数的知识．
(2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用．
§2 数集.确界原理
(一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，集合的有界性概念，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质.
(二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．
(1)基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；
(2)较高要求：能用定义证明集合的上（下）确界．
(三) 教学建议：
(1) 本节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．
(2) 本节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的
§3 函数概念
(一) 教学目的：掌握函数概念和函数的不同的表示方法．
(二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数．
基本要求：正确理解和掌握函数的概念和性质,了解四则运算,复合函数,反函数的定义.掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数（比如狄利克莱函数、黎曼函数等）的定义及性质.
(三) 教学建议：
      通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．
§4 具有某些特性的函数
(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．
(二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．
(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性.
 
第二章 数列极限
§1 数列极限概念
(一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法．
(二) 教学内容：数列极限．
(1)基本要求：正确理解和掌握数列极限的严格定义.懂得数列极限的分析定义中与的关系，学会用数列极限的定义证明极限．
(2)较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧．
(三)教学建议：
(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在数学分析中的重要性．
(2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．
§2 收敛数列的性质
(一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质.会运用四则运算定理, 两边夹定理,计算极限，能用海因定理证明极限不存在.
(二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．
(1)基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．
(2)较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．对多数学生可重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．
(2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如：，等．
§3 数列极限存在的条件
(一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则．
(二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则．
(1)基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性 ．理解柯西收敛准则的直观意义．
(2)较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．
(2) 本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．
 
第三章  函数极限
§1 函数极限概念
(一) 教学目的：正确理解和掌握函数极限的严格定义.左右极限定义，掌握极限与左右极限的关系，能够用分析定义证明和计算函数的极限．
(二) 教学内容：函数各种极限的分析定义．
       基本要求：掌握函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．
(三) 教学建议：
本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．
§2   函数极限的性质
(一)  教学目的：掌握函数极限的性质．
(二)  教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．
(1)基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．
(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识．
(三) 教学建议：
(1)本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系．
(2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的（的大小）不仅与有关，而且与点有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．
§3 函数极限存在的条件
(一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．
(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．
(1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则．
(2) 较高要求：能够写出函数各种极限的归结原理和柯西准则．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性．
(2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用函数各种极限的归结原理和柯西准则．
§4 两个重要的极限
(一) 教学目的：掌握两个重要极限：  
(二) 教学内容：两个重要极限：
(1) 基本要求：掌握 证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．

(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．
(2) 本节的难点是利用迫敛性证明   ．
§5 无穷小量与无穷大量
(一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．
(1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
(2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
(2) 本节的难点是熟练运算．
 
第四章  函数的连续性
§1 连续性概念
(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．
(二) 教学内容：深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念.对一
般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类.
(1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．
(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性．
(三) 教学建议：
(1)函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．
(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．
§2 连续函数的性质
(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．
(二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．
(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．
(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解．
(三)教学建议：
(1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．
(2)  本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在本节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．
§3  初等函数的连续性
(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．
(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．
(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性．
(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义．
(三)教学建议：
(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．
(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．
 
第五章  导数和微分
§1 导数的概念
(一) 教学目的：1.理解导数的定义及其几何、物理意义. 2.掌握可导与连续的关系.
了解费马定理、达布定理．
(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．
(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．
(2) 较高要求：理解达布定理．
(三) 教学建议：
       (1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．
(2) 本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题．
§2 求导法则
(一) 教学目的：熟练掌握求导运算的四则运算法则,复合函数求导法则及初等函数求导公式，熟记基本初等函数的求导公式．
(二) 教学内容：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．
基本要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式，会求平面曲线的切线方程和法线方程.
(三) 教学建议：
        求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要安排专门时间督促和检查学生学习情况．
§3 参变量函数的导数
(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则．
(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．
基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．
(三) 教学建议：
        通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则．
§4高阶导数
(一) 教学目的：掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．
(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．
(1) 基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．
(2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．
(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．
§5 微分
(一) 教学目的：掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用．
(二) 教学内容：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用．
(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性．
(2) 较高要求：掌握高阶微分的概念．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部．
(2) 本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念．
 
第六章  微分中值定理及其应用
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
(一) 教学目的：
1.熟练掌握微分学中值定理.掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件,结论和证明方法
2.会用导数判别函数的单调性，能用中值定理解决一些证明问题.
(二) 教学内容：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．
(1) 基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．
(2) 较高要求：掌握导数极限定理．
(三) 教学建议：
(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．
(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．
§2 柯西中值定理和不定式极限
(一) 教学目的：掌握落比达法则求极限的方法,了解定理的条件.
(二) 教学内容：柯西中值定理；洛必达法则的使用．
(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．
(2) 较高要求：掌握洛必达法则型定理的证明．
(三) 教学建议：
(1)本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各种不定式极限的方法．
(2) 本节的难点是掌握洛必达法则的证明，特别是型的证明．
§3 泰勒公式
(一) 教学目的：理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．会用台劳公式求极限和求常见函数的近拟值
(二) 教学内容：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．
(1) 基本要求：了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式．
(2) 较高要求：用泰勒公式计算某些极限．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．
(2) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法．
§4函数的极值与最大(小)值
(一) 教学目的：掌握函数的极值与最大(小)值的概念．
(二) 教学内容：函数的极值与最值．
(1) 基本要求：掌握求函数极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．
(2) 较高要求：掌握求函数极值的第三充分条件．
(三) 教学建议：
教会学生以函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）分割函数定义域，作自变量、导函数（以及二阶导数）、函数的性态表，这个表给出函数的单调区间，凸区间，极值．这对后面的函数作图也有帮助．
§5 函数的凸性与拐点.
(一) 教学目的：掌握函数凸性与拐点的概念，对一般的函数会求其单调区间,极值,最值,凹凸性,
拐点及函数的渐近线，应用函数的凸性证明不等式．
(二) 教学内容：函数的凸性与拐点．
(1) 基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．
(2) 较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系．
(三) 教学建议：
(1) 教给学生判断凸性的充分条件即可，例如导函数单调．
(2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．
§6 函数图象的讨论
(一) 教学目的：掌握函数图象的大致描绘
(二) 教学内容：作函数图象．
(1) 基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．
(2) 较高要求：能描绘参数形式的函数图象．
(三)教学建议：
教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．
 
第七章  实数的完备性
§1关于实数集完备性的基本定理
(一)教学目的：理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关系,了解各定理的证明思路．
(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．
(1) 基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．
(2) 较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．
(三) 教学建议：
(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．
(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．
§2 闭区间上的连续函数性质的证明
(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．
(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．
(1)基本要求：理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法.掌握用有限覆盖定理或用
致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．
(2)掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．
(三) 教学建议：
       (1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．
(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．
 
第八章  不定积分
§1不定积分的概念与基本积分公式
(一) 教学目的：掌握原函数,不定积分的概念和性质
(二) 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．熟练掌握基本积分公式及线性运算法则
基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．
(三) 教学建议：
(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表．
(2) 适当扩充基本积分公式表．
§2  换元积分法与分部积分法
(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．
(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．
基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法.
(三) 教学建议：
(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．
(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．
§3  有理函数和可化为有理函数的不定积分
(一) 教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．
(二) 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．
(1) 基本要求：会计算有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．
(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．
(三) 教学建议：
           (1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．
(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握．
 
第九章  定积分
§1  定积分的概念
(一) 教学目的：引进定积分的概念．
(二) 教学内容：定积分的定义．
    基本要求：掌握定积分的定义,上,下和的定义等概念，了解定积分的几何意义和物理意义．
(三) 教学建议：要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义．
§2  牛顿-莱布尼茨公式
(一) 教学目的：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．
(二) 教学内容：牛顿-莱布尼茨公式．
(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．
(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．
(三) 教学建议：
(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．
(2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．
§3 可积条件
(一) 教学目的：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．
(二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类.
基本要求：掌握可积的必要条件,充分条件及证明思路.掌握可积函数类.
(三) 教学建议：
       (1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．
(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．
§4定积分的性质
(一) 教学目的：掌握定积分的性质．
(二) 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．
(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．
(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．
(三) 教学建议：
(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．
(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题．
§5 微积分学基本定理
(一) 教学目的：掌握微积分学基本定理．
(二) 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．
(1) 基本要求：掌握变限定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．
(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．
(三)教学建议：
(1) 微积分学基本定理是本节重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．
(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．
 
第十章  定积分的应用
§1平面图形的面积
(一) 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式．
(二) 教学内容：平面图形面积的计算公式．
(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．
(2) 较高要求：提出微元法的要领．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．
(2) 领会微元法的要领．
§2 由平行截面面积求体积
(一) 教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式
(二) 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．
 基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．
(2) 进一步领会微元法的要领．
§3 平面曲线的弧长与曲率
(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率
(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．
(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．
(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．
(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．
§4 旋转曲面的面积
(一) 教学目的：掌握旋转曲面的面积计算公式．
(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．
基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；
掌握平面曲线的曲率的计算公式．
(三) 教学建议：
要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．
§5 定积分在物理中的某些应用
(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．
(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．
(1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．
(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．
(三) 教学建议：
要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．
 
十一章  反常积分
§1反常积分的概念
(一) 教学目的：掌握反常积分的定义与计算方法．
(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．
基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．
(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限．
§2 无穷积分的性质与收敛判别
(一) 教学目的：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．
(二) 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．
(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．
(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．
 
第十二章  数项级数
§1 级数的收敛性
(一) 教学目的：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质.
(二) 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数．
基本要求：深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的关系.
(三) 教学建议：
(1)  要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数
的敛散性．
(2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求．
§2 正项级数
(一)  教学目的：掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别
法和积分判别法．
(二) 教学内容：比较判别法；比式判别法；根式判别法；积分判别法．
(1) 基本要求：掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．
(2) 较高要求：介绍拉贝判别法．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须理解和掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法，要布置足量的习题．
(2) 对较好学生可要求掌握拉贝判别法，可挑选适量的习题．
(3) 由于这方面内容与反常积分的部分内容有类似之处，可向学生作比较与总结．
§3 一般项级数
(一) 教学目的：掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．
(二) 教学内容：交错级数；莱布尼茨判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对收敛．
基本要求：(1)理解收敛级数,绝对收敛级数与条件收敛级数的关系,性质及证明方法.掌握交错级数的莱布尼茨判别法．
(2) 掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性质．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的敛散性的各种方法．
(2) 本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好学生掌握绝对收敛级数的性质．
 
第十三章  函数序列与函数项级数
§1 一致收敛性
(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(1)    基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致
收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
        (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
§2 一致收敛函数序列与函数项级数的性质．
(一) 教学目的：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性．
(二) 教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别．
(1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．
(2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论．
(2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题．
 
第十四章  幂级数
§1 幂级数
(一) 教学目的：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，掌握幂级数的性质和运算．
(二) 教学内容：幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法；掌握幂级数收敛半径，收敛区间和收敛域的概念．
基本要求：(1)理解幂级数作为特殊的函数项级数有和一般函数项级数相同的性质.会求幂
级数的收敛半径和收敛范围.掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，学会解答有关幂级数收敛半径和收敛区间的习题．
(2) 学会解答有关幂级数收敛区域的习题．
 (三) 教学建议：
(1) 布置足量求幂级数收敛半径和收敛区间的习题．
(2) 有关幂级数收敛域的问题，对较好的学生可布置适量的习题
§2 函数的幂级数展开
(一) 教学目的：掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．熟记一些初等函数的幂级数展开式.
(二) 教学内容：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式．
(1) 基本要求：掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开．
(2) 较高要求：学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开式对一些初等函数作间接展开．
(2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题．
 
第十五章  傅里叶级数
§1 傅里叶级数
(一) 教学目的：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理．
(二) 教学内容：三角级数；正交函数系；傅里叶级数定义；傅里叶级数的收敛定理．
(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单函数的傅里叶级数．
(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)．
(三) 教学建议：
(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．
(2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤．
§2 以2l 为周期的函数的展开式
(一) 教学目的：掌握以2l 为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．
(二) 教学内容：对以2l 为周期的函数作傅里叶级数展开的基本方法；偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开；正弦级数；余弦级数
(1) 基本要求：掌握以2l 为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．
(2) 较高要求：掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法．
(三) 教学建议：
三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开的方法与步骤．
§3 收敛定理的证明
(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．
(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；收敛定理的证明．
(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点．
(2) 较高要求：理解收敛定理的证明．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点．
(2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．
 
第十六章  多元函数的极限与连续
§1 平面点集与多元函数
(一) 教学目的：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解的完备性，掌握二元及多元函数的定义．
(二) 教学内容：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；的完备性；二元及多元函数的定义．
(1) 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及的完备性，掌握二元及多元函数的定义．
(2) 较高要求：掌握的完备性定理．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念，可布置适量习题．
(2) 有关的完备性定理的证明可对较好学生提出要求．
§2 二元函数的极限.
(一) 教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．
(二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．
(1) 基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．
(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．
(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．
§3 二元函数的连续性
(一) 教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．
(二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．
(1) 基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．
(2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点．
(三) 教学建议：
(1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．
(2)对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题．
 
第十七章  多元函数微分学
§1 可微性
(一) 教学目的：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件．
(二) 教学内容：多元函数偏导数，可微性与全微分的定义；可微的必要条件与充分条件．
基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件，并能熟练地求多元函数的导数及高级偏导数.理解二元函数的偏导数存在,可微,连续之间的关系.能熟练地求多元函数的导数及高级偏导数.
(三) 教学建议：
(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．
(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．
§2 复合函数微分法
(一) 教学目的：掌握复合函数求导的链式法则．
(二) 教学内容：复合函数链式法则；复合函数的全微分；一阶全微分形式不变性．
(1) 基本要求：掌握复合函数求导的链式法则．
(2) 较高要求：掌握链式法则的证明和理解一阶全微分形式不变性．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须熟练掌握复合函数求导的链式法则，应布置较多习题以使学生能通过完成作业达到熟练使用链式法则的目的．
(2) 举例说明正确使用一阶全微分形式不变性的基本方法．
§3 方向导数与梯度
(一) 教学目的：掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度．
(二) 教学内容：方向导数与梯度的定义；方向导数与梯度的计算公式．
基本要求：掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算．
(三) 教学建议：
(1) 适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）．
(2) 对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系．
(3) 注意使用方向导数计算公式的前提条件．
§4 泰勒公式与极值问题
(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．
(二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件．
(1) 基本要求：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．
(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．
(三) 教学建议：
(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题．
(2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．
 
第十八章  隐函数定理及其应用
§1 隐函数
(一) 教学目的：掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法．
(二) 教学内容：隐函数的定义；隐函数存在性定理；隐函数可微性定理．
(1) 基本要求：掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法．
(2) 较高要求：掌握隐函数定理的证明．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．
(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求．
§2  隐函数组
(一) 教学目的：掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法．
(二) 教学内容：隐函数组的定义； 隐函数组定理；反函数组的定义与求导法．
(1) 基本要求：掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法．
(2) 较高要求：理解隐函数组和反函数组定理的证明．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生熟记隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法．
(2) 隐函数组和反函数组定理的证明较为繁复，对一般学生可不作要求．
§3 几何应用
(一) 教学目的：掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线，求空间曲线的切线与法平面，求曲面的切平面与法线．
(二) 教学内容：平面曲线的切线与法线方程；空间曲线的切线与法平面方程；求曲面的切平面与法线方程．
      基本要求：能够写出平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程．
(三) 教学建议：要求学生必须熟记平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程，可布置适量的习题加深他们的印象．
§4 条件极值
(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．
(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．
(1) 基本要求：了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．
(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．
(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．
(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．
 
第十九章  含参量积分
§1 含参量正常积分
(一) 教学目的：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则．
(二) 教学内容：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明；含参量正常积分的导数的计算．
(1) 基本要求：了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．
(2) 较高要求：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义．
(2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明
§2 含参量反常积分
(一) 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．
(二) 教学内容：含参量反常积分的一致收敛性及其判别法；含参量反常积分的性质；含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法；含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理．
(1) 基本要求：掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．
(2)掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．
(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结．
§3  欧拉积分
(一) 教学目的：了解 函数与 函数的定义．
(二) 教学内容： 函数与 函数的定义； 函数与 函数的联系．
(1) 基本要求：了解 函数与 函数的定义与有关性质．
(2) 较高要求：了解 函数与 函数的关系公式．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生了解 函数与 函数的定义和性质，可适量布置有关习题．
(2) 对较好学生可布置有关 函数与 函数的关系公式的习题．
 
第二十章  曲线积分
§1 第一型曲线积分
(一) 教学目的：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．
(二) 教学内容：第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．
基本要求：掌握第一型曲线积分的定义,性质及计算公式.
(三) 教学建议：要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．
§2 第二型曲线积分
(一) 教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．
(二) 教学内容：第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．
(1) 基本要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、第二型曲线积分之间的关系.
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．
(2) 两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题．
 
第二十一章  重积分
§1 二重积分概念
(一) 教学目的：掌握二重积分的定义和性质．
(二) 教学内容：二重积分的定义和性质．
(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．
(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍．
(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题．
§2 直角坐标下二重积分的计算
(一) 教学目的：掌握直角坐标下二重积分的计算公式．
(二) 教学内容：二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换．
(1) 基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式．理解二重积分的变量替换定理的内容,会用变量替换定理求解简单的二积分特别要求会用极坐标变换和柱坐标变换.
(2)了解重积分在几何和物理上的应用.
(三) 教学建议：
(1)   要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式．
(2) 对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明．
§3 格林公式，曲线积分与路线无关性
(一) 教学目的：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件．
(二) 教学内容：格林公式；曲线积分与路线无关的条件．
(1) 基本要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，理解格林公式以及曲线积分与路线无关的条件的定理的证明．
(2) 较高要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧．
(三) 教学建议：
（1）要求学生必须熟练掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，并应用格林公式化二重积分为曲线积分和化曲线积分为二重积分，使他们懂得在什么情况下进行变换可带来方便．
(2) 对较好学生要求掌握在应用格林公式以及曲线积分与路线无关的条件的定理时掌握“挖”“补”等某些特殊技巧．
§4 二重积分的变量变换．
(一) 教学目的：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分．
(二) 教学内容：二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式．
(1) 基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐标变换．
(2) 较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握．
(2) 本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生了解．
§5 三重积分
(一) 教学目的：掌握三重积分的定义和性质．
(二) 教学内容：三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．
       基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．
  (三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．
(2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．
§6 重积分的应用
(一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．
(二) 教学内容：曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式．
基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式．
(三) 教学建议：
要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题．
 
第二十二章  曲面积分
§1  第一型曲面积分
(一) 教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．
(二) 教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式．
(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．
(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式．
(2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．
§2 第二型曲面积分
(一) 教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式．
(二) 教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．
(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．
(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系．
(三) 教学建议：
(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．
(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握．
§3 高斯公式与斯托克斯公式
(一) 教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．
(二) 教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．
(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．
懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．
(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧．
(三) 教学建议：本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系．

考研数学：河南工业大学满分大神竟这样巧用参考书的

关于数学课本的学习方法
记得当初复习的时候就听很多人说考研数学注重基础，数学课本如何如何重要，应该花大量时间去看。现在感觉这种观点有些片面，我十分认同考研数学注重考查基础的观点，但并不赞同重基础就是多看课本。
我这样讲是有原因的：大家用的课本大多是同济六版的，内容很多，当你把这本书拿在手里并参考大纲进行比对时，你会发现哪些部分比较重要，哪些部分不重要或不考，但你不会明白考研数学如何对这一部分进行考查。
同济课本不是专门为考研而编写的因而其课后题与考研题相去甚远，即使你把课本上所有的题目都掌握之后，也不见得会做几道考研题。
我的一个同学就是一心只看课本，几乎没做过其他参考书，考试之后他对我说："这些题我都看着面熟，就是不会做!"其中原因是什么呢?结果不言而喻。因此，学弟学妹们无需把课本看得过重。
关于复习全书的学习方法
我认为这是一本与考研数学联系很密切的参考书，其中总结了不少考研数学的题型，是很不错的。如果大家能够将辅导强化班的笔记里的题型和全书题型结合起来总结一本笔记的话，对你考研数学档次提升的帮助将是巨大的。
我就是这样做的：全书第二遍和辅导班笔记整合起来总结题型，花费了大约五个月时间，最终大功告成，这一遍的总结对我影响甚大，之后我就没看过全书，因为题型和做题方法已经掌握的差不多了，不需要再去翻全书。这项工作是费时费力的，希望大家量力而行!
关于660、真题和400题的学习方法
660题是一本只有选择和填空的参考书，我做过两遍，感觉其技巧性是很多的，做过之后你会对考研的选择填空有新的认识，不过，考研题是不如660难的。
真题我只做了一遍，而且是从2000到2010年，之前的没做。真题是比较简单的，大部分题目我一遍就过了，并没有在上面花很多时间，也没有研究的必要。考研题的出题模式是很固定的，只要不出现计算错误肯定是没有问题的。
400题是我很青睐的一本书，我的做题速度就是靠它练出来的。对于400题，我的做法是：上午拿出三个小时模拟，尽量在规定时间内完成所有题目，400题是比较难的，计算量一般也会很大，因而出现不会做或做不完的情况也是很正常的。
这个时候千万不要失落和放弃，一定要坚持下来，慢慢就会适应的。当你经过周密的思考和复杂的计算能够做对题目，拿下130+的分数时，说明你的数学已经掌握的不错了。
还有一点，要加强对数学理论的研究，你可以试着用一种通俗的方式将一条晦涩的定理将给同学听，使他也能够明白。如果能够达到这样的话，说明你已领悟了该定理的真谛，做题也就没什么难的了!
总之，对待数学要勤于思考，善于总结，平时多做多练，得高分还是相对容易的。

2021河南工业大学数学070100考研科目及参考书目

考研数学备考经：河南工业大学教训与心态写真！

我的大学生活画上一个句号。选择了考研路，大家一定要坚持自己的想法与目标。不能被外面的一些东西干扰。说说我自己的情况，属于专升本的学生，选择考研这段路还是有一定的艰难。现在回顾过去的那一年，感觉很充实，同时有着遗憾。
　　我开始准备是大三下学期，真正全心全意投入准备复习是4月底。
　　数学篇
　　资料：同济版高数(二遍)、浙大概率(二遍)、线代(二遍)、李永乐的全书(二遍)，李永乐的线代(二遍)、李永乐和王式安的十年真题(二遍)，李永乐的公式(一遍)，李永乐和王式安的6+2(半遍)、高教版出的数学模拟题(二遍)、李永乐660(未看)
　　我考的是数三，相对数一来说，考试范围小些，难度没有那么大。但是数一与数三的每年都有想类似的考题，特别是在线代与概率大题，一模一样。你们可以看看，曾经我是看过的。
　　四月底的时候我把同济版二本高数看完，并做了部分课后习题。(注意：如果你考数三，建议看微积分，那个难度没有同济的大，并且书上面的大多数内容是数三的考点。如果你直接看数一，对于数学基础为零的同学，你可能会感觉有些难，不会知道哪些是考点。当时我就是看到别人说，准备数学就看同济版课本，后来无意看《微积分》那本书，发现当初就该看它)。大三开学开始看数学课本(同济版本)。
　　由于之前没有怎么学习过，一切通过自学。由于三月份要参加全国计算机二次考试，所有三月份大多数在准备计算机，没有怎么准备考研。大概四月底的时候，我把同济高数二本书看完了。4月底，正式进入考研复习，数学我采用逐章复习法，就是看一章课本，再看相应的视频，最后看全书。第二遍看高数课本，相对于之前容易多了，并且课后习题正确率提高了。但是看全书就比较吃力了，有些题我完全看不懂。对于不懂得题，我都有备注，同时请教教室的同学。
　　我这个人有个特点，就是好问，我不懂得数学题，我就跑去请教别人，直到自己弄懂为止。整个过程复习下来，有些题我问了好几次才弄懂。
　　不推荐报面授班，面授班比较浪费时间，网上下载视频，到手机上面看，感觉高效。在看视频的时候，不是只看，当然还要手写做笔记。
　　这样大概复习到7月初，这时也开始进入暑假我才把高数部分复习完，相对一些学习过的高数的同学，我的进度比较慢。没有办法，自己的基础不行，只有慢慢来，那时心态一定要好，当时我一个朋友6月份复习的全书，他都要复习完了，我才看高数。所有还是有点急，后来想想我们的基础不一样，自己就按照自己的方式来。高数复习完，我就看开始看线代课本。线代课本看完后，我又采用逐章复习法，看一章课本，再看视频，最后看的李永乐的线代，全书的线代部分我没有看。大概是八月初复习完的。概率复习，我也采用同样的方法复习。最后复习完是8月20多号左右。
　　第二轮全书复习时，我先复习的概率，然后线代，最后高数。第二次复习的时候，看全书没有第一次那么的吃力了，可能大概看了一遍吧。我第二轮看全书大概花了一个多月。每天差不多7小时，我周边有人每天花四小时，二十多天就把全书看完。在这里，我再次说明每个人的基础不一样，不能与他们相比，我跟着自己的脚步走。在九月份的时候，身边的人在考试做李永乐的660题，我开始做了一些，发现难度有些大，做错的题多，就放弃了。
　　到十月初的时候，我把全书的第二遍看完。开始做李永乐和王式安的十年真题，每天一套，开始只有五六十分。有些题还是不会做，自己心态比较好，慢慢来。发现自己概率有些差，我把全书中的概率部分又看完了一篇。把这本书看完时，我就买了一本模拟题，高教版出的，好像作者是黄莉，具体忘记了，感觉那试卷很好。具体有几套我忘记了，今年数三的考题，能在那个模拟题中找到类似的题。做完这本模拟题，数学有些茫然，我就去买了一本李永乐和王式安的6+2，这本试题集前面试卷比较简单，后面感觉题型偏难偏怪，我就放弃了。最后我又过来看李永乐和王式安的十年真题。把自己之前做的题重点看了一篇。这差不多就是我的数学备考了。
　　开始复习会有很多困难，很多不懂。复习到了最后，你看题就知道这个是哪种类型的题，考什么知识点。看近几年的真题，能估算今年可能考那些类型的题。所以，开始复习不要急，慢慢来的到，知识点了解透彻了，就能水到渠成了。
　　教训篇
　　1、发现自己感觉自己成绩不是那样的，果断查分。
　　当考研成绩出来时，感觉自己某科成绩太差，嫌弃查分麻烦就果断放弃查分的机会了，当时我朋友还说我怎样那样对自己不负责。我当时就想查分查出来也不能进理想大学的复试，所以就放弃了。哪只今年大多数高校学硕降分了。所以如果你们感觉成绩不会那么差，果断查分吧，不管能否有机会进入复试，对自己负责，给自己的付出要一份答案。后来听别人说，我们教室有个人查分，找回来10分。
　　2、选择了考研，千万不要去找工作，更不要去面试，不用关注就业信息。
　　考研的时候，去面试了一个单位，感觉自己即使读研出来都不一定能进入那样好的单位，就想不读研就能去个好单位，何必读研呢，然后就有些放弃考研了。最后工作也没有去成。在考研的时候，看到别人找到好的工作，或许你读研出来找的工作都没有那么好，千万不要放弃考研，就选择工作了。虽然读研出来还是要工作，或者读研为了找更好的工作。但是你要想想，很多东西不是你想的那样。自己要保持一个继续求知学习的心态。说不定你读研出来才5000一个月，你没有读研的同学工作不到一年就1万一个月月。这些都是很正常的。你不要想到我读研出来还不如本科生，或者其他的。
　　3、明确报考学校是不是自己真的想去的。
　　最后，希望大家一定要确定好自己的目标，当时自己就感觉自己报考的学校不怎样，不是自己想要的，也有点气妥。你们决定报考学校前，一定要向考上的学姐学长多多了解，比如学风、导师、环境。这个完全是个人建议，感觉把目标定高点，等到考研报名的时候，发现自己复习的不好，可以根据自己的复习情况，再改学校。有时人是逼出来的，你不知道你的潜力多大，目标高了，有些动力更强了。纯属于个人观念。
　　心态篇
　　选择考研，可能选择了孤独，放弃了一些娱乐。当时准备考研的时候，我一个人跑去找教室，找位子，教室一个人都不熟悉。特别是看数学的时候，经常会不懂，人都是被逼出来的吧，不会懂得题必须要解决，我只有厚起脸皮问别人，问了一个又一个，因为有些同学不会常在。有时在教室，看到别人认真的看书，自己想偷懒的时候，更有动力了。大学认识的人很少，因为这一年准备考研，发现这一年认识的人是最多的。
　　考研到了后期，特别是12月份，看着自己很多没有复习好，很容易否定自己，自己放弃，每天上自习心不在焉，这时一定要调整好自己，自己要给自己加油。因为我发现周围很多人到了后期就是自己选择放弃了，包括我自己。那时坚持不放弃，坚定目标，或许结果又不一样。所以到了后期，一定不要被自己打败，即使感觉自己复习的太差，但是不知道结果你也不知道会怎么样，所以一定不能放弃，要一直为自己的目标奋战、加油↖(^ω^)↗。

河南工业大学数学070100考研科目及参考书目

数学考研院校

基本信息

专业介绍

专业点分布

专业院校排名

序号	学校代码	学校名称	评选结果
1	10001	北京大学	A+
2	10246	复旦大学	A+
3	10422	山东大学	A+
4	10003	清华大学	A
5	10027	北京师范大学	A
6	10055	南开大学	A
7	10248	上海交通大学	A
8	10358	中国科学技术大学	A
9	10698	西安交通大学	A
10	10183	吉林大学	A-
11	10213	哈尔滨工业大学	A-
12	10247	同济大学	A-
13	10269	华东师范大学	A-
14	10284	南京大学	A-
15	10335	浙江大学	A-
16	10486	武汉大学	A-
17	10558	中山大学	A-
18	10610	四川大学	A-
19	10028	首都师范大学	B+
20	10141	大连理工大学	B+
21	10200	东北师范大学	B+
22	10280	上海大学	B+
23	10285	苏州大学	B+
24	10319	南京师范大学	B+
25	10345	浙江师范大学	B+
26	10384	厦门大学	B+
27	10487	华中科技大学	B+
28	10511	华中师范大学	B+
29	10530	湘潭大学	B+
30	10532	湖南大学	B+
31	10533	中南大学	B+
32	10542	湖南师范大学	B+
33	10561	华南理工大学	B+
34	10574	华南师范大学	B+
35	10611	重庆大学	B+
36	10718	陕西师范大学	B+
37	10730	兰州大学	B+
38	90002	国防科技大学	B+
39	10002	中国人民大学	B
40	10005	北京工业大学	B
41	10094	河北师范大学	B
42	10270	上海师范大学	B
43	10290	中国矿业大学	B
44	10357	安徽大学	B
45	10386	福州大学	B
46	10394	福建师范大学	B
47	10459	郑州大学	B
48	10635	西南大学	B
49	10673	云南大学	B
50	10697	西北大学	B
51	10699	西北工业大学	B
52	10736	西北师范大学	B
53	10755	新疆大学	B
54	11078	广州大学	B
55	10004	北京交通大学	B-
56	10008	北京科技大学	B-
57	10108	山西大学	B-
58	10126	内蒙古大学	B-
59	10251	华东理工大学	B-
60	10287	南京航空航天大学	B-
61	10288	南京理工大学	B-
62	10300	南京信息工程大学	B-
63	10320	江苏师范大学	B-
64	10359	合肥工业大学	B-
65	10414	江西师范大学	B-
66	10445	山东师范大学	B-
67	10446	曲阜师范大学	B-
68	10512	湖北大学	B-
69	10636	四川师范大学	B-
70	10637	重庆师范大学	B-
71	10657	贵州大学	B-
72	11117	扬州大学	B-
73	11646	宁波大学	B-
74	10009	北方工业大学	C+
75	10145	东北大学	C+
76	10165	辽宁师范大学	C+
77	10255	东华大学	C+
78	10299	江苏大学	C+
79	10338	浙江理工大学	C+
80	10346	杭州师范大学	C+
81	10351	温州大学	C+
82	10403	南昌大学	C+
83	10423	中国海洋大学	C+
84	10475	河南大学	C+
85	10476	河南师范大学	C+
86	10559	暨南大学	C+
87	10560	汕头大学	C+
88	10593	广西大学	C+
89	10663	贵州师范大学	C+
90	10749	宁夏大学	C+
91	11414	中国石油大学	C+
92	10019	中国农业大学	C
93	10079	华北电力大学	C
94	10081	华北理工大学	C
95	10110	中北大学	C
96	10203	吉林师范大学	C
97	10214	哈尔滨理工大学	C
98	10231	哈尔滨师范大学	C
99	10252	上海理工大学	C
100	10337	浙江工业大学	C
101	10370	安徽师范大学	C
102	10491	中国地质大学	C
103	10536	长沙理工大学	C
104	10595	桂林电子科技大学	C
105	10613	西南交通大学	C
106	10616	成都理工大学	C
107	10681	云南师范大学	C
108	11066	烟台大学	C
109	90006	解放军理工大学	C
110	10078	华北水利水电大学	C-
111	10118	山西师范大学	C-
112	10140	辽宁大学	C-
113	10166	沈阳师范大学	C-
114	10167	渤海大学	C-
115	10212	黑龙江大学	C-
116	10294	河海大学	C-
117	10390	集美大学	C-
118	10460	河南理工大学	C-
119	10477	信阳师范学院	C-
120	10513	湖北师范大学	C-
121	10608	广西民族大学	C-
122	10615	西南石油大学	C-
123	10638	西华师范大学	C-
124	10674	昆明理工大学	C-
125	11065	青岛大学	C-
126	10010	北京化工大学	C-
127	10059	中国民航大学	C-
128	10065	天津师范大学	C-
129	10075	河北大学	C-

数学考研院校

基本信息

专业介绍

专业院校排名

序号	学校代码	学校名称	评选结果
1	10001	北京大学	A+
2	10246	复旦大学	A+
3	10422	山东大学	A+
4	10003	清华大学	A
5	10027	北京师范大学	A
6	10055	南开大学	A
7	10248	上海交通大学	A
8	10358	中国科学技术大学	A
9	10698	西安交通大学	A
10	10183	吉林大学	A-
11	10213	哈尔滨工业大学	A-
12	10247	同济大学	A-
13	10269	华东师范大学	A-
14	10284	南京大学	A-
15	10335	浙江大学	A-
16	10486	武汉大学	A-
17	10558	中山大学	A-
18	10610	四川大学	A-
19	10028	首都师范大学	B+
20	10141	大连理工大学	B+
21	10200	东北师范大学	B+
22	10280	上海大学	B+
23	10285	苏州大学	B+
24	10319	南京师范大学	B+
25	10345	浙江师范大学	B+
26	10384	厦门大学	B+
27	10487	华中科技大学	B+
28	10511	华中师范大学	B+
29	10530	湘潭大学	B+
30	10532	湖南大学	B+
31	10533	中南大学	B+
32	10542	湖南师范大学	B+
33	10561	华南理工大学	B+
34	10574	华南师范大学	B+
35	10611	重庆大学	B+
36	10718	陕西师范大学	B+
37	10730	兰州大学	B+
38	90002	国防科技大学	B+
39	10002	中国人民大学	B
40	10005	北京工业大学	B
41	10094	河北师范大学	B
42	10270	上海师范大学	B
43	10290	中国矿业大学	B
44	10357	安徽大学	B
45	10386	福州大学	B
46	10394	福建师范大学	B
47	10459	郑州大学	B
48	10635	西南大学	B
49	10673	云南大学	B
50	10697	西北大学	B
51	10699	西北工业大学	B
52	10736	西北师范大学	B
53	10755	新疆大学	B
54	11078	广州大学	B
55	10004	北京交通大学	B-
56	10008	北京科技大学	B-
57	10108	山西大学	B-
58	10126	内蒙古大学	B-
59	10251	华东理工大学	B-
60	10287	南京航空航天大学	B-
61	10288	南京理工大学	B-
62	10300	南京信息工程大学	B-
63	10320	江苏师范大学	B-
64	10359	合肥工业大学	B-
65	10414	江西师范大学	B-
66	10445	山东师范大学	B-
67	10446	曲阜师范大学	B-
68	10512	湖北大学	B-
69	10636	四川师范大学	B-
70	10637	重庆师范大学	B-
71	10657	贵州大学	B-
72	11117	扬州大学	B-
73	11646	宁波大学	B-
74	10009	北方工业大学	C+
75	10145	东北大学	C+
76	10165	辽宁师范大学	C+
77	10255	东华大学	C+
78	10299	江苏大学	C+
79	10338	浙江理工大学	C+
80	10346	杭州师范大学	C+
81	10351	温州大学	C+
82	10403	南昌大学	C+
83	10423	中国海洋大学	C+
84	10475	河南大学	C+
85	10476	河南师范大学	C+
86	10559	暨南大学	C+
87	10560	汕头大学	C+
88	10593	广西大学	C+
89	10663	贵州师范大学	C+
90	10749	宁夏大学	C+
91	11414	中国石油大学	C+
92	10019	中国农业大学	C
93	10079	华北电力大学	C
94	10081	华北理工大学	C
95	10110	中北大学	C
96	10203	吉林师范大学	C
97	10214	哈尔滨理工大学	C
98	10231	哈尔滨师范大学	C
99	10252	上海理工大学	C
100	10337	浙江工业大学	C
101	10370	安徽师范大学	C
102	10491	中国地质大学	C
103	10536	长沙理工大学	C
104	10595	桂林电子科技大学	C
105	10613	西南交通大学	C
106	10616	成都理工大学	C
107	10681	云南师范大学	C
108	11066	烟台大学	C
109	90006	解放军理工大学	C
110	10078	华北水利水电大学	C-
111	10118	山西师范大学	C-
112	10140	辽宁大学	C-
113	10166	沈阳师范大学	C-
114	10167	渤海大学	C-
115	10212	黑龙江大学	C-
116	10294	河海大学	C-
117	10390	集美大学	C-
118	10460	河南理工大学	C-
119	10477	信阳师范学院	C-
120	10513	湖北师范大学	C-
121	10608	广西民族大学	C-
122	10615	西南石油大学	C-
123	10638	西华师范大学	C-
124	10674	昆明理工大学	C-
125	11065	青岛大学	C-
126	10010	北京化工大学	C-
127	10059	中国民航大学	C-
128	10065	天津师范大学	C-
129	10075	河北大学	C-

数学考研考什么

数学考研考什么

数学考试科目
政治，英语，数学分析，高等数学，这四个一般是初试必考的。至于复试就每个学校都不太一致了，不过一般都是考微分方程与复变函数。

数学专业研究生分好几个方向，有应用数学、计算数学以及概率论与数理统计等，一般数分高代是基础一定会考，有的学校是两门专业课就是数分与高代，也有的学校是数分高代合并算一门专业课，然后再考其他一门专业课，例如概率论方向有可能会考概率或统计学。

数学参考书目
1、教材比较推荐的有：

　　高数教材：《高等数学》——同济版;

　　线代教材：《线性代数》——同济版、清华版;

　　概率教材：《概率论与数理统计》——浙江大学盛骤版

　　2、复习全书推荐的有：

　　《数学复习全书》——李永乐;

　　《线性代数辅导讲义》——李永乐;

　　《高数18讲》——张宇

　　3、真题、习题类推荐的依次有：

　　《数学历年真题解析》——李永乐;

　　《数学基础过关660题》——李永乐;

　　《全真模拟经典400题》——李永乐;

　　《接力题典1800题》——汤家凤

数学考研方向
以复旦大学为例

专业代码、名称及研究方向	学习方式	人数	考试科目	备注
018 数学科学学院		93		本院系拟招收学术学位推免生32人， 拟招收专业学位推免生51人。实际招生数视生源情况调整。
025100 金融(专业学位)		35		本专业拟招收推免生34人。
01金融工程与管理 02风险管理与保险精算 13随机金融与风险分析 14金融衍生品的定价与计算	全日制		①101思想政治理论;②204英语二;③303数学三;④431金融学综合
025200 应用统计(专业学位)		18		本专业拟招收推免生17人。
01高维数据分析 02散乱数据拟合 03统计计算方法	全日制		①101思想政治理论;②204英语二;③303数学三;④432统计学
070101 基础数学(学术学位)		14		分析包括数学分析60%及常微分方程20%、复变函数20%、实变函数20%，其中后三部分任选两部分；代数与几何包括高等代数70%及抽象代数（群、环、域）30%、微分几何30%，其中后两部分任选一部分。本专业拟招收推免生11人。
01微分几何 02数学物理 03偏微分方程 04泛函分析 05代数学 06代数几何 07复变函数论 08动力系统 09数论 10拓扑学 11调和分析	全日制		①101思想政治理论;②201英语一;③719分析;④835代数与几何
070102 计算数学(学术学位)		6		本专业拟招收推免生5人。
01数值线性代数 02新型算法 03偏微分方程数值解 04并行算法 05数学物理反问题	全日制		①101思想政治理论;②201英语一;③719分析;④835代数与几何
070103 概率论与数理统计(学术学位)		3		本专业拟招收推免生2人。
01随机过程 02随机分析及其应用	全日制		①101思想政治理论;②201英语一;③719分析;④835代数与几何
070104 应用数学(学术学位)		12		本专业拟招收推免生10人。
01计算几何 02应用偏微分方程 03工业应用数学 04神经网络的数学方法与应用 05非线性科学 06精算学 07计算系统生物学	全日制		①101思想政治理论;②201英语一(或)241法语;③719分析;④835代数与几何
070105 运筹学与控制论(学术学位)		5		本专业拟招收推免生4人。
01最优控制理论及其应用 02随机控制理论与数学金融	全日制		①101思想政治理论;②201英语一;③719分析;④835代数与几何

数学就业前景
数学与应用数学专业就业前景很好，毕业生主要在教育类企业、金融类企业从事数学教师、数学教研、教学产品研发、精算师、证券分析、金融研究等。
就业前景

应用数学专业属于基础专业，是其他相关专业的“母专业”。无论是进行科研数据分析、软件开发、三维动画制作还是从事金融保险，国际经济与贸易、工商管理、化工制药、通讯工程、建筑设计等，都离不开相关的数学专业知识，数学专业与其他相关专业的联系将会更加紧密，数学专业知识将会得到更广泛的应用。

由于数学与应用数学专业与其他相关专业联系紧密，以它为依托的相近专业可供选择的比较多，因而报考该专业较之其他专业回旋余地大，重新择业改行也容易得多，有利于将来更好的就业。

家教业的逐渐兴起，也为数学与应用数学专业毕业生提供了一条重要的就业渠道。由于数学家教对专业知识和教学辅导艺术的要求比较高，家长不易操作或无暇顾及，于是聘请数学家教已成为许多家庭的必然选择。

数学与应用数学专业毕业生主要到科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作。能胜任高等院校、科研院所、企业和其他单位的教学、科研技术和技术管理工作。

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