2003年考研数学四

2003年考研数学四详细介绍如下，希望可以帮助到您：
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1xcos,若x0,（1）设f(x) 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是x若x0,0,
（2）已知曲线yx33a2xb与x轴相切，则b可以通过a表示为b________.
（3）设a>0，f(x)g(x)22a,若0x1,而D表示全平面，则If(x)g(yx)dxdy=_______. 0,其他，D
（4）设n维向量(a,0,,0,a)T,a0；E为n阶单位矩阵，矩阵
T AE， BE1T， a
其中A的逆矩阵为B，则a=______.
（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若ZX0.4，则Y与Z的相关系数为________.
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n
1n2时，YnXi依概率收敛于______. ni1
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在，则函数g(x)f(x) x
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ]
（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是
(A) f(x0,y)在yy0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在yy0处的导数大于零.
(C) f(x0,y)在yy0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在yy0处的导数不存在.
[ ]
（3）设pnanan2
n，qnanan2n，n1,2,，则下列命题正确的是 (A) 若a
n1
条件收敛，则pn1与qn1n都收敛.
(B) 若a
n1n绝对收敛，则pn1n与qn1n都收敛.
(C) 若a
n1
n条件收敛，则pn1n与qn1n敛散性都不定.
(D) 若a
n1n绝对收敛，则pn1n与qn1n敛散性都不定. [ ]
abb（4）设三阶矩阵Abab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 bba
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.
(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ ]
（5）设1,2,,s均为n维向量，下列结论不正确的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks，都有k11k22kss0，则1,2,,s
线性无关.
(B) 若1,2,,s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks，都有
k11k22kss0.
(C)
(D) 1,2,,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. 1,2,,s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件
(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立.
(C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. [ ]
三、（本题满分8分）
设
f(x)1111,x[,1). xsinx(1x)2
1
2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.
四 、（本题满分8分）
122f2fg(x,y)f[xy,(xy2)],求1设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又222uv
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2g2g2. 2xy
五、（本题满分8分）
计算二重积分
Ie
D(x2y2)sin(x2y2)dxdy.
22其中积分区域D={(x,y)xy}.
六、（本题满分9分） x2n
求幂级数1(1)(x1)的和函数f(x)及其极值. 2nn1n
七、（本题满分9分）
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(,)内满足以下条件：
f(x)g(x)，g(x)f(x)，且f(0)=0, f(x)g(x)2ex.
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2) 求出F(x)的表达式.
八、（本题满分8分）
设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在(0,3)，使f()0.
九、（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
(a1b)x1a2x2a3x3anxnax(ab)xaxax112233nn a1x1a2x2(a3b)x3anxna1x1a2x2a3x3(anb)xn
其中0,0,0, 0,a
i1ni0. 试讨论a1,a2,,an和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
十、（本题满分13分）
设二次型
22f(x1,x2,x3)XTAXax122x22x32bx1x3(b0)，
中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值；
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(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
1
f(x),若x[1,8],
30x2
,其他;
F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
十二、（本题满分13分）
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
X~12
0.30.7，
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
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